Distribución inversa-Wishart

En la estadística, la distribución de Wishart inversa, también llamó la distribución de Wishart invertida, es una distribución de probabilidad definida en matrices positivo y definido valorado del modo verdadero. En la estadística Bayesian se usa como el previo conjugado para la matriz de la covariancia de un

distribución normal de la multivariante aleatoria.

Decimos sigue una distribución de Wishart inversa, denotada como, si su inverso tiene una distribución de Wishart.

Densidad

La función de densidad de probabilidad de Wishart inverso es:

:

El \frac {\\se fue | {\\mathbf\Psi }\\|^ {correcto \\frac {\\nu} {2}}} {2^ {\\frac {\\nu p} {2} }\\Gamma_p (\frac {\\nu} {2})} \left |\mathbf {X }\\|^ correcto {-\frac {\\nu+p+1} {2}} e^ {-\frac {1} {2 }\\operatorname {tr} ({\\mathbf\Psi }\\mathbf {X} ^ {-1}) }\

</matemáticas>

donde y son matrices definido positivo, y &Gamma; (&middot) es la función gamma de la multivariante aleatoria.

Teoremas

Distribución del inverso de una matriz Wishart-distribuida

Si y es de la talla, entonces tiene una distribución de Wishart inversa.

Distribuciones marginales y condicionales de una matriz Wishart-distribuida inversa

Suponga tiene una distribución de Wishart inversa. Divida el matrices y en conformidad el uno con el otro

:

{\\mathbf un} = \begin {bmatrix} \mathbf un _ {11} & \mathbf un _ {12} \\\mathbf un _ {21} & \mathbf un _ {22} \end {bmatrix}, \;

{\\mathbf {\\Psi}} = \begin {bmatrix} \mathbf {\\Psi} _ {11} & \mathbf {\\Psi} _ {12} \\\mathbf {\\Psi} _ {21} & \mathbf {\\Psi} _ {22} \end {bmatrix }\

</matemáticas>

donde y son matrices, entonces tenemos

i) es independiente de y, donde está el complemento de Schur de en;

ii);

iii)

({\\mathbf \Psi} _ {11} ^ {-1} {\\mathbf \Psi} _ {12}, {\\mathbf A\_ {22\cdot 1} \otimes {\\mathbf \Psi} _ {11} ^ {-1}) </matemáticas>, donde está una distribución normal de la matriz;

iv)

Distribución conjugada

Suponga que deseamos hacer la inferencia sobre una matriz de la covariancia cuya previo tiene una distribución. Si las observaciones son la p-variante-aleatoria independiente variables de Gaussian dibujadas de una distribución, entonces la distribución condicional tiene una distribución, donde está tiempos la matriz de la covariancia de la muestra.

Como las distribuciones previas y posteriores son la misma familia, decimos que la distribución de Wishart inversa es conjugada a la multivariante aleatoria Gaussian.

Debido a su conjugacy a la multivariante aleatoria Gaussian, es posible marginar (intégrese) el parámetro de Gaussian.

(esto es útil porque la matriz del desacuerdo no se conoce en la práctica, pero porque se conoce a priori y se puede obtener de los datos, la derecha se puede evaluar directamente).

Momentos

Lo siguiente está basado en la Prensa, S. J. (1982) "Análisis de la Multivariante aleatoria Aplicado", 2do editor (Publicaciones de Dover, Nueva York), después de dar parámetros de nuevo el nivel de libertad de ser consecuente con la definición p.d.f. encima.

El medio:

:

E (\mathbf X) = \frac {\\mathbf\Psi} {\\nu-p-1}. </matemáticas>

El desacuerdo de cada elemento de:

:

\operatorname {Var} (x_ {ij}) = \frac {(\nu-p+1) \psi_ {ij} ^2 + (\nu-p-1) \psi_ {ii }\\psi_ {jj} }\

{(\nu-p) (\nu-p-1) ^2 (\nu-p-3)} </matemáticas>

El desacuerdo de la diagonal usa la misma fórmula que encima con, que simplifica a:

:

\operatorname {Var} (x_ {ii}) = \frac {2\psi_ {ii} ^2} {(\nu-p-1) ^2 (\nu-p-3)}. </matemáticas>

Distribuciones relacionadas

Una especialización univariate de la distribución inversa-Wishart es la distribución de la gamma inversa. Con (es decir univariate) y, y la función de densidad de probabilidad de la distribución inversa-Wishart se hace

:

es decir, la distribución de la gamma inversa, donde está la función Gamma ordinaria.

Una generalización es la distribución gamma de la multivariante aleatoria inversa.

Un tipo diferente de la generalización es la distribución normal-inverse-Wishart, esencialmente el producto de una distribución normal de la multivariante aleatoria con una distribución de Wishart inversa.

Véase también



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